Bài 5: Một số khái niệm căn bản về Xác suất

Nguyen Xuan Ngoc 13/10/2021

MỘT SỐ KHÁI NIỆM CĂN BẢN VỀ XÁC SUẤT

Mục tiêu

Sau khi nghiên cứu chủ đề, học viên có khả năng:

Trình bày 2 định nghĩa về xác suất và đưa ra các ví dụ
Xây dựng được tập giao và hợp của 2 tập hợp xác định
Trình bày và phân biệt được hai công thức chuyển vị và tổ hợp
Trình bày định nghĩa của xác suất có điều kiện
Trình bày công thức cộng xác suất và công thức nhân xác suất

1. Ðịnh nghĩa về xác suất

1.1 Ðịnh nghĩa xác suất theo tần suất tương đối

Theo ngôn ngữ thông thường, xác suất chính là tần suất tương đối. Thí dụ mệnh đề khẳng định xác suất sinh con trai là 0,515 có nghĩa là khi thống kê nhiều lần sinh, tần suất tương đối sinh con trai sẽ xấp xỉ bằng 0,515 (tần suất tương đối là tần suất xảy ra biến cố quan tâm chia cho tổng số lần thử). Nói cách khác, nếu một quá trình được lập lại n nhiều lần, và nếu có f lần xảy ra biến cố E, tần suất tương đối của biến cố E sẽ xấp xỉ bằng xác suất của E.

Thí dụ: Buffon thực hiện 4040 lần tung đồng tiền và quan sát được 2048 lần xuất hiện mặt sấp. Tần suất tương đối xảy ra mặt sấp là ... . Xác suất xảy ra mặt sấp cũng xấp xỉ bằng 0,507.

1.2 Phép thử, kết cục, biến cố, biến cố đối lập

Khi chúng ta gieo một đồng tiền lên một mặt phẳng có thể xảy ra một trong hai kết cục: xuất hiện mặt sấp hoặc xuất hiện mặt ngửa với kết quả không thể tiên đoán được. Người ta gọi việc gieo đồng tiền là phép thử (experiment) và sự xuất hiện mặt xấp hay mặt ngửa của đồng tiền là các kết cục (outcome).

Tương tự, khi chúng ta tung con xúc xắc, có thể xuất hiện các mặt 1, 2, 3, 4, 5, 6 thì việc tung con xúc xắc được gọi là phép thử ngẫu nghiên và việc xuất hiện mặt 1, xuất hiện mặt 2, 3, 4, 5 và 6 được gọi các kết cục ngẫu nhiên. Nếu chúng ta quan tâm đến biến cố ra mặt xúc xắc chẵn thì biến cố (event) này bao gồm 3 kết cục: ra mặt 2, ra mặt 4 và ra mặt 6. Nói khác đi biến cố là tập hợp mà các phần tử là các kết cục. Bởi vì tập hợp có thể có bao gồm toàn bộ các phần tử, 0 phần tử hay 1 phần tử nên việc ra một mặt xúc xắc nào đó (thí dụ ra mặt 2) vừa có thể xem là kết cuộc vừa có thể xem là biến cố: biến cố đó đôi khi được gọi là biến cố sơ cấp.

Nếu chúng ta tung 3 con xúc xắc phân biệt , có kết cục sau có thể xảy ra {1,1,1} (ba con xúc xắc ra mặt 1); {1,1,2}; {1,1,3};....; {6,6,5}; {6,6,6}. Biến cố có tổng số điểm của 3 con xúc xắc =18 bao gồm một kết cục {6,6,6}. Tương tự chúng ta có thể định nghĩa biến cố tổng số điểm của ba con xúc xắc <=10, biến cố tổng số điểm là 11; biến cố tổng số điểm >=12.

Đối với mỗi biến cố A có một biến cố đối lập (complementary event ) Ac (được đọc là không A) bao gồm các kết cục không có tính chất A. Trở về thí dụ của phép thử tung con súc sắc 6 mặt, biến cố đối lập với biến cố ra mặt chẵn là biến cố ra mặt lẻ. Biến cố đối lập cho biến cố ra mặt >=2 là biến cố ra mặt 1.

1.3 Kết cục đồng khả năng

Khi chúng ta gieo con xúc xắc đồng nhất, cảm nhận thông thường cho phép chúng ta giả định việc xuất hiện kết cục ra mặt 1, ra mặt 2, ra mặt 3, ra mặt 4, ra mặt 5, ra mặt 6 có xác xuất như nhau. Khi đó ta gọi các kết cục này là kết cục đồng khả năng.

1.4 Ðịnh nghĩa xác suất cổ điển

Nếu phép thử ngẫu nhiên có thể xảy ra theo N kết cục loại trừ lẫn nhau và có xác suất như nhau và gọi m là số các kết cục thuận lợi cho biến cố E, xác suất xảy ra biến cố E, được kí hiệu là P(E), sẽ bằng m chia cho N

N còn được gọi là số các kết cục có thể và m số các kết cục thuận lợi.

Thí dụ: Nếu chúng ta tung con xúc xắc (xí ngầu) có 6 mặt: mặt 1, mặt 2, mặt 3, mặt 4, mặt 5, mặt 6 thì có thể xảy ra với 6 kết cục khác nhau. Những kết cục này loại trừ lẫn nhau (nếu ra mặt 1 thì không ra mặt 2 và ngược lại) và đồng xác suất. Giả sử ta quan tâm đến biến cố con xúc xắc ra mặt chẵn. Biến cố này có thể xảy ra theo 3 cách, nói khác đi biến cố này bao gồm 3 kết cục. Khi đó xác suất xảy ra biến cố ra mặt chẵn là 3/6=0.5

Thí dụ: Khoa phổi và khoa Thận của bệnh viện Chợ Rẫy có 50 bệnh nhân trong số này có 35 bệnh nhân nữ. Có 12 bệnh nhân của khoa Thận trong đó có là 8 người là nữ. Có bao nhiêu bệnh nhân nữ ở khoa phổi? Có bao nhiêu trong số những bệnh nhân của 2 khoa này là nữ hay nằm ở khoa Phổi.

Trước tiên chúng ta lập một bảng chéo để phân loại các bệnh nhân theo giới tính và theo khoa điều trị (Phổi hay Thận) và điền các thông tin đã cho từ đề bài vào bảng này (các số in đậm của bảng). Từ các thông tin này chúng ta tính các số ở các ô còn lại (các số in thường) của bảng chéo

Bảng 1. Giới tính của bệnh nhân của khoa Phổi và khoa Thận bệnh viện Chợ rẫy

	Khoa Phổi	Khoa Thận	Tổng số
Nam	11	4	15
Nữ	27	8	35
Tổng số	38	12	50

Từ bảng chéo chúng ta biết được số bệnh nữ của khoa phổi là 27 và số bệnh nhân nữ hay nằm ở khoa phổi là 46 người.

Thí dụ: Sử dụng số liệu của bảng trên hãy tính các xác suất:

1. Chọn một người bất kì tính xác suất người nằm ở khoa Phổi - P(Khoa Phổi):

N: Số kết cuộc có thể là 50; m: số các kết cuộc thuận lợi cho 38;

P (Khoa Phổi) = ?

2. Chọn một người bất kì tính xác suất người đó là nam - P(Nam)

N: Số kết cuộc có thể là 50; m: số các kết cuộc thuận lợi cho 15;

P (Nam) = ?

Khái niệm về nguy cơ và số chênh (odds)

Một khái niệm quan trọng trong dịch tễ học là nguy cơ. Nguy cơ được định nghĩa là tỉ lệ mắc bệnh trong khoảng thời gian nghiên cứu ở một nhóm người người lúc đầu không bị bệnh. Như vậy còn có thể được xem là xác suất của một người bị mắc bệnh trong khoảng thời gian nghiên cứu với điều kiện lúc đầu không bị mắc bệnh. Đó là lí do tại sao xác suất và thống kê có một vai trò then chốt trong các nghiên cứu dịch tễ.

Những chúng ta sẽ thấy xác suất là một hàm số có đặc tính thuận lợi về mặt toán học, thí dụ như nguyên lí cộng tính. Tuy nhiên xác suất có miền xác định là đoạn [0;1] nên để mô tả xác suất theo một biểu thức tuyến tính cần sử dụng các phép biến đổi để mở rộng miền xác định. Một trong các phép biến đổi đó là số chênh (odds)

Số chênh của một biến cố A được kí hiệu là Odds(A) bằng xác suất của biến cố A chia cho xác suất của biến cố không A.

Odds(A)= =

Miền xác định của số chênh là đoạn [0;∞) được mở rộng so với miền xác định của xác suất. Số chênh cũng có một đặc tính khác quan trọng là số chênh của biến cố không A bằng nghịch đảo của số chênh biến cố A.

Odds(Ac) = = 1: = 1:Odds

Mặc dù lí do chính để sử dụng số chênh là đặc tính toán học của nó, số chênh cũng là một khái niệm quen thuộc trong cuộc sống hàng ngày.

Thí dụ: Khi ta gieo đồng tiền chúng ta chúng ta có 2 kết cục sấp và ngửa đồng khả năng. Khi đó xác suất được mặt sấp, P(sấp) = = 0,5. Số chênh được mặt sấp, Odds(sấp) = = . Thực ra trong dân gian cách nói xác suất ra mặt sấp là 0,5 không quen thuộc bằng cách nói là việc được mặt ngửa là 1 ăn 1 thua (hay 5 năm 5 thua).

Khi biến cố A hiếm (P(A)<0,1) thì 1-P(A) ≈ 1 nên số chênh và xác suất là xấp xỉ. Từ số chênh chúng ta cũng có thể tính được xác suất theo công thức sau:

P(A) = ...

1.3 Ðịnh nghĩa xác suất chủ quan

Khái niệm về xác suất chủ quan lần đầu tiên được đề xướng bởi Von Newman, Morgenstern, Ramsey và Savage. Theo khái niệm này, xác suất không chỉ áp dụng cho các hiện tượng ngẫu nhiên mà còn được sử dụng cho các mệnh đề (proposition). Có những mệnh đề có thể kiểm chứng bằng thử nghiệm lập lại được (thí dụ mệnh đề “chiếc nhẫn vàng này là thật” có thể được kiểm chứng sau khi thử nghiệm kiểm tra vàng bằng lửa). Mặc dù trước thử nghiệm, tính chân thực của mệnh đề là không chắc chắn nhưng sau thử nghiệm chúng ta luôn luôn biết được mệnh đề này là đúng hay sai.

Tuy nhiên có những mệnh đề không thể kiểm chứng bằng thử nghiệm lập lại được (thí dụ như mệnh đề “sử dụng vitamine A bổ sung sẽ làm giảm nguy cơ ung thư” không thể chứng minh được dù chúng ta có thực hiện đến 10 thử nghiệm lâm sàng bởi vì kết quả của 10 thử nghiệm này không cho kết quả giống hệt như nhau). Với những mệnh đề này thì trước hay sau thử nghiệm chúng ta đều phải sử dụng một số đo lường về mức độ không chắc chắn của mệnh đề và số đo lường này được gọi là xác suất chủ quan. Khuyết điểm của các tiếp cận này ở chỗ xác suất của mệnh đề là một con số chủ quan và thay đổi theo nhận định của từng người.

Tuy vậy những người ủng hộ nó lập luận rằng dù có chấp nhận tính chủ quan hay không, trong cuộc sống và khoa học nhiều quả định của chúng ta là chủ quan và ưu điểm của phương pháp này là nó minh bạch hoá tính chủ quan của các giả định. Định nghĩa chủ quan là cơ sở của phương pháp Bayes (Bayes method) trong thống kê học hiện đại.

2. Nhắc lại về lí thuyết tập hợp

Một tập hợp là gồm nhiều những đối tượng xác định và khác nhau. Những đối tượng này được gọi là phần tử của tập hợp. Tập hợp thường được kí hiệu bằng chữ in và có thể biểu thị bằng giản đồ Venn.

Hình 1. Giản đồ Venn (Venn diagrams)

Thí dụ khi ta tung con xúc xắc có thể xảy ra 6 kết cuộc (1, 2, 3, 4, 5, 6). Do biến cố (event) là một tập hợp với các phần tử kết cuộc như vậy chúng ta có xây dựng các biến cố sau:

E1={1}; E2={2}; E3={3}; E4={4}; E5={5}; E6={6} (như đã quy ước, các biến cố chỉ có một phần tử là một kết cục được gọi là biến cố sơ cấp)

S={1, 2, 3, 4, 5, 6} (biến cố này được gọi là biến cố toàn thể khi tất cả các kết cục đều là các phần tử của biến cố này)

A= {2,4,6}: A là biến cố ra mặt chẵn.

Kí hiệu x ∈ X để chỉ định x là một phần tử của X và kí hiệu x ∉ X để chỉ rằng x không thuộc tập hợp X. Áp dụng thí dụ trên và sử dụng kí hiệu chỉ định phần tử, ta có thể viết

1 ∈ E1; 1 ∈ S; 1∉ E2 ; 1 ∉ A

Phần giao của hai tập hợp A và B là một tập hợp (kí hiệu bằng A ⋂ B )gồm những phần tử chung của hai tập hợp.

Phần hợp của hai tập hợp A và B là tập hợp (kí hiêu bằng A∪B) gồm những phần tử có mặt trong tập hợp A hoặc có mặt trong tập hợp B.

Thí dụ: Nếu A là tập hợp của các mặt chẵn của con xúc xắc.

A= {2,4,6}

Nếu B là tập hợp các mặt lớn hơn hoặc bằng 3

B = {3,4,5,6}

A∪B = {2,3,4,5,6}

A⋂B = {4,6}

4. Nhắc lại về đại số mệnh đề

Một mệnh đề (proposition) là một phát biểu hoặc đúng hoặc sai nhưng không thể cùng đúng và cùng sai.

Thí dụ: Trong 3 phát biểu sau, phát biểu nào là mệnh đề

a. 42 chia hết cho 7

b. Trái đất là hành tinh duy nhất trong vũ trụ có sự sống

c. Mua hai vé xem đá banh trận đấu giữa Manchester United và Leed United

Trả lời: Hai phát biểu đầu (a và b) là mệnh đề và phát biểu thứ ba (c) không phải là mệnh đề mà chỉ là một mệnh lệnh.

Khi chúng ta kết hợp hai mệnh đề con bằng từ và thì chúng ta có một mệnh đề thì mệnh đề này chỉ đúng nếu hai mệnh đề con đều đúng:

Thí dụ: Trong hai mệnh đề sau, mệnh đề nào là mệnh đề đúng.

42 chia hết cho 7 và 100 chia hết cho 10

2 + 2 = 4 và 91 là số nguyên tố

Trả lời: Mệnh đề (a) là đúng còn mệnh đề (b) sai vì chỉ có một mệnh đề con của nó là đúng. Mệnh đề con còn lại (91 là số nguyên tố) sai.

Khi chúng ta kết hợp hai mệnh đề con bằng từ hay thì chúng ta có một mệnh đề thì mệnh đề này chỉ sai nếu hai mệnh đề con đều sai:

Thí dụ: Trong hai mệnh đề sau, mệnh đề nào là mệnh đề đúng.

42 chia hế t cho 7 và 100 chia hết cho 10

2 + 2 = 4 và 91 là số nguyên tố

Trả lời: Mệnh đề (a) là đúng vì cả hai mệnh đề con đều đúng. Mệnh đề (b) đúng vì có một mệnh đề con của nó là đúng (2+2 = 4).

5. Nến tảng tiên đề của lí thuyết xác suất

Vào đầu thế kỉ 20, lí thuyết xác suất đã được xây dựng nền tảng tiên đề tương tự như các ngành khác của toán học. Nhờ đó sự phát triển của lí thuyết xác suất dựa trên các tiên đề này chỉ phụ thuộc vào tính chặt chẽ logic (logic correctness) dù rằng những định lí của nó có phản ánh thế giới thực hay không. Nhà toán học Nga Kolmogorov là người đã có công xây dựng trình bày các bài toán xác suất theo các khái niệm của lí thuyết đo lường và các tiên đề để xây dựng lí thuyết xác suất do ông đưa ra được trình bày sau đây:

Nếu chúng ta kí hiệu S là tập hợp các kết cục của phép thử (còn gọi là biến cố toàn thể), M là một lớp các biến cố và M thoả 3 tính chất sau: (i) S M; (ii) nếu A M, thì Ac M; (iii) nếu A1, A2, . . . M, thì A1 A2 M.

Hàm số P được gọi là xác suất gán cho mỗi biến cố A thuộc lớp M một con số không âm và có 2 tính chất sau:

1. P(S) = 1 (Xác suất của biến cố toàn thể bằng đơn vị)

2. Nếu A1, A2, . . .∈ M và Ai ∩ Aj = Ø cho tất cả i ≠ j, thì P(A1 ∪ A2 ∪ …) = P(A1) + P(A2) + … (Nếu các biến cố A1, A2,… là loại trừ tương hỗ lẫn nhau thì xác suất của sự xuất hiện A1 hay A2 hay .. bằng tổng của các xác suất đơn lẻ).

Tiên đề thứ hai là cơ bản cho các chứng minh trong thống kê và được gọi là nguyên lí cộng tính (principle of additivity)

6. Giải tích tổ hợp

Giải tích tổ hợp (Combinatorics) là lãnh vực toán nghiên cứu về các bài toán chọn lựa, hoán vị và các toán tử trong hệ thống hữu hạn. Trong phạm vi của tài liệu này chúng ta chỉ trình bày các khái niệm về hoán vị (arrangment), chỉnh hợp (permutation) và tổ hợp (combination).

6.1 Nhắc lại về giai thừa (factorial)

Giai thừa của n (với n là số nguyên) được đọc là n giai thừa và được kí hiệu là n!

n!=n.(n-1).(n-2)...1

Theo quy ước, 0! =1.

Nhờ kí hiệu giai thừa người ta có thể viết một cách vắn tắt tích một chuỗi các chữ số liên tiếp. Thí dụ: Thể hiện biểu thức 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 bằng kí hiệu 7!

Thí dụ: Thể hiện biểu thức 3 x 4 x 5 x 6 x 7 bằng ...

6.2 Hoán vị

Trạm y tế có 3 vị trí để treo 3 bức tranh A, B, C. Số cách sắp xếp 3 bức tranh vào 3 vị trí có thể được tính theo cách lập luận sau:

- Vị trí số 1 có thể chọn 1 trong 3 bức tranh để treo, như vậy có tất cả 3 cách chọn

- Vị trí số 2 có thể chọn 1 trong 2 bức tranh còn lại, vậy ở vị trí này có 2 cách chọn

- Vị trí số 3 chỉ còn duy nhất một tranh để treo, vậy ở vị trí này chỉ có 1 cách chọn

Số cách sắp xếp 3 bức tranh vào 3 vị trí = 1 x 2 x 3 = 3!

Một cách tổng quát số cách sắp xếp n đối tượng vào n vị trí khác nhau còn được gọi là số cách hoán vị (arrangments) của n đối tượng bằng n!.

6.3. Chỉnh hợp và tổ hợp

Chỉnh hợp và tổ hợp đều là cách chọn k đối tượng từ n đối tượng cho trước. Việc chọn các đối tượng được gọi là chỉnh hợp (Permutation) nếu chúng ta để ý đến thứ tự lựa chọn và được gọi là tổ hợp (Combination) nếu chúng ta không quan tâm đến thứ tự lựa chọn.

Khái niệm về chỉnh hợp và tổ hợp sẽ được minh hoạ trong thí dụ sau. Giả sử chúng ta có 5 đối tượng phân biệt (distinguishable objects) là các loại thuốc A (antibiotic), B (beta agonist), C (corticosteroid), D (bronchoDilator) và E (expectorant). Giả sử để điều trị cho bệnh nhân bị hen phế quản chúng ta cần phải chọn 2 loại thuốc và hai loại thuốc này không dùng đồng thời (một thuốc dùng trước, một thuốc dùng sau). Khi đó các cách để chọn 2 loại thuốc được liệt kê ở như sau:

AB BA AC CA AD

DA AE EA BC CB

BD DB BE EB CD

DC CE EC DE ED

Mỗi cách chọn lựa liệt kê ở trên được gọi là một chỉnh hợp. Số các chỉnh hợp này được gọi là số chỉnh hợp 5 đối tượng chọn 2 (permuations of 5 objects taken 2) và được kí hiệu là 5P2. Lập luận để tính số chỉnh hợp 5 đối tượng chọn 2 như sau:

Để chọn đối tượng thứ nhất chúng ta có 5 cách chọn

Để chọn đối tượng thứ hai sau khi chọn đối tượng đầu tiên chúng ta có 4 cách chọn

Do đó 5P2 = 5 x 4 = ...

Một cách tổng quát, công thức tính nPr (số chỉnh hợp n đối tượng chọn r) là số cách trong n đối tượng chọn ra r đối tượng có phân biệt thứ tự được chọn (để giao các nhiệm vụ hay nhận lãnh các vị trí khác nhau) là:

Chúng ta hãy xét một thí dụ khác. Giả sử để điều trị cho bệnh nhân bị hen phế quản chúng ta cần phải chọn 2 loại thuốc và cho dùng đồng thời. Trong trường hợp này tổ hợp AB đồng nhất như tổ hợp BA, tổ hợp AC cũng đồng nhất như tổ hợp CA và số tổ hợp bằng số chỉnh hợp chia số số hoán vị của 2 đối tượng được chọn.

Do đó 5C2 = 5C2 /2! = ...

Một cách tổng quát, công thức tính nCr (số tổ hợp n đối tượng chọn r) là số cách trong n đối tượng chọn ra r đối tượng có không phân biệt thứ tự được chọn (và sẽ nhận lãnh cùng một nhiệm vụ hay cùng một vị trí ) là:

Lưu ý: Tổ hợp và chỉnh hợp có thể được kí hiệu khác. Thí dụ tổ hợp n lấy r còn được kí hiệu là Cnr hay . Một số tài liệu nêu rõ tổ hợp là tổ hợp không lặp và dùng từ chập hay cho từ lấy do đó nCr được gọi là tổ hợp không lặp chập r của n đối tương. Tuy nhiên phần lớn tài liệu hiện đại đều quy ước tổ hợp có nghĩa là tổ hợp không lặp để tránh rườm rà.

6.4 Bài toán ngày sinh nhật

Bộ môn Y tế công cộng có n=23 giảng viên và nhân viên, hãy tính xác suất P trong bộ môn ít nhất có 2 người trùng ngày sinh.

Để đơn giản, chúng ta hãy giả định là một năm chỉ có 365 ngày và mỗi ngày đều có xác suất là ngày sinh của một người ngẫu nhiên là như nhau. Khi đó một nhóm n người sẽ có 365n cách xảy ra ngày sinh của n người đó. Cách chọn trong 365 ngày sinh để gán cho n người khác nhau chính là chỉnh hợp 365 chọn n. do đó Xác suất trong bộ môn ít nhất 2 người trùng ngày sinh = 1 – xác suất n người có ngày sinh hoàn toàn khác nhau.

Thay n=23, chúng ta có xác suất trong bộ môn Y tế công cộng có ít nhất 2 người trùng ngày sinh là 0,5

Khi số lượng người gia tăng thì xác suất có ít nhất 2 người cùng ngày sinh nhật cũng gia tăng. Đáp số cụ thể cho các trường hợp được trình bày như sau:

Số người	9	23	42	50
XS có ít nhất có 2 người trùng ngày sinh	0,0946	0,5073	0,9140	0,9704
Số chênh	0,1045	1,0296	10,6320	32,7537
Tỉ lệ cá	1:10	1:1	10:1	33:1

Bài tập

Bài tập định nghĩa xác suất

1. Một bệnh viện có cơ cấu nhân viên theo tuổi và công tác được trình bày trong bảng 1. Giả sử nếu ta chọn một nhân viên trong bệnh viện., tính xác suất:

a- nhân viên đó là bác sĩ

b- nhân viên đó là bác sĩ lớn hơn 35 tuổi

c- nhân viên đó là điều dưỡng

d- nhân viên đó là một điều dưỡng tuổi từ 26 đến 35

1a. Theo công thức

Với N là số các biến cố có thể và m số các biến cố thuận lợi.

Khi chọn ngẫu nhiên việc chọn lực có thể kết cuộc theo 1766 cách khác nhau (Số biến cố có thể N=1766). Trong việc tính xác suất nhân viên đó là bác sĩ, biến cố thuận lợi là biến cố chọn được một trong 105 bác sĩ. Như vậy số biến cố thuận lợi m = 105.

Ta có xác suất chọn được một bác sĩ là 105/1766=0,059 = 5,9%

1b. Tương tự ta có xác suất chọn được một bác sĩ lớn hơn 35 tuổi là 75/1766 = 0,042 = 4,2%

1c. Xác suất chọn được một nhân viên điều dưỡng là 1220 /1766 = 0,691 = 69,1%

1d. Xác suất chon được một nhân viên điều dưỡng tuổi từ 26 đến 35 = (375+442)/1766 = 817/1766 = 0,463 = 46,3%

Bài tập về tập hợp và mệnh đề

Bảng 1. Nhân viên của bệnh viện phân theo tuổi và công tác

Công tác	A1 < 25	A2 26-30	A3 31-35	A4 >35	Tổng số
B1. Bác sĩ	0	5	25	75	105
B2. Phục vụ phòng thí nghiệm	20	30	35	35	120
B3. Phục vụ dinh dưỡng	3	6	6	10	25
B4. Phục vụ hồ sơ bệnh án	7	15	8	12	42
B5. Phục vụ điều dưỡng	200	375	442	203	1220
B6. Dược sĩ	1	12	8	3	24
B7. Quang tuyến	4	10	19	12	45
B8. Phục vụ điều trị	5	25	15	10	55
B9. Những ngành khác	20	35	50	25	130
Tổng số	260	513	608	385	1766

1. Dựa vào số liệu của bảng 1. Giải thích bằng lời những tập hợp sau đây. Những tập hợp đó có bao nhiêu phần tử:

A4∩B3 ; B5∩A2 ; B3∪A4 ; (A4∪A3)∩B3

2. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là đúng

2+2 là 4 hay Darwin là con khỉ

Bệnh AIDS do một loại virus gây ra và bệnh AIDS có thể lây lan qua muỗi Aedes aegypti

Bài giải

1. Giải thích các tập hợp

A4∩B3 là tập hợp những nhân viên cấp dưỡng >35 tuổi. n(A4∩B3) = 10

B5∩A2 là tập hợp những điều dưỡng tuổi từ 26 đến 30. n(B5∩A2) = 375

B3∪A4 là tập hợp những người nhân viên cấp dưỡng hay trên 35 tuổi. n(B3∪A4)=385 +25 -10 = 400

(A4∪A3)∩B3 là tập hợp những nhân viên cấp dưỡng tuổi từ 31 trở lên. N{(A4∪A3)∩B3}=16

2. Mệnh đề (a) là mệnh đề hay. Mệnh đề này đúng do một mệnh đề con của nó là đúng (2+2 =4),

Mệnh đề (b) là mệnh đề và. Mệnh đề này sai do một mệnh đề con của nó (bệnh AIDS có thể lây lan qua muỗi Aedes aegypti ) là sai.

Bài tập về chỉnh hợp, tổ hợp

1. Một nhân viên vật lí trị liệu sắp kế hoạch làm việc trong ngày. Anh ta biết rằng có 7 công việc phải làm trong ngày đó.

a. Nếu anh ta có thể tiến hành công việc theo ý muốn, thì anh ta có thể có bao nhiêu cách sắp xếp?

b. Nếu anh ta quyết định nghỉ buổi chiều và chỉ làm 3 công việc vào buổi sáng thì anh ta có bao nhiêu cách sắp xếp?

2. Một nhân viên muốn làm xét nghiệm 4 mẫu máu nhưng bà ta chỉ có đủ hóa chất để xét nghiệm cho 3 mẫu mà thôi. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 3 mẫu máu trong 4 mẫu để làm xét nghiệm?

3. Giả sử trong phòng thí nghiệm có 3 công việc khác nhau phải làm và có 5 người làm việc đó. Hỏi có bao nhiêu cách để giao 3 công việc này cho 5 người?

Bài giải

1a. Do người nhân viên vật lí trị liệu này muốn liên kết 7 công việc khác nhau vào 7 thời điểm khác nhau trong kế hoạch công tác, anh ta có thể có sắp xếp công việc theo 7!=7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1= 5040 cách.

1b. Nếu anh ta chỉ còn có đủ thời gian để làm 3 công việc, anh ta phải từ 7 công việc chọn ra 3, 3 công việc này sau khi được chọn sẽ được sắp xếp khác nhau. Như vậy, số kế hoạch anh ta có thể sắp xếp là:

7P3 = 7!/(7-3)! = 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 / 4 x 3 x 2 x 1 = 7 x 6 x 5 = 210 cách.

2. Người nhân viên này muốn chọn từ 4 mẫu máu lấy 3 mẫu, 3 mẫu máu này sau khi chọn là không phân biệt (đều được làm xét nghiệm). Vậy số cách chọn 3 mẫu máu để xét nghiệm là 4C3 = 4!/(4-3)!3! = 4 x 3 x 2 x 1 / (1 x 3 x 2 x 1) = 4

3. Từ 5 người chọn ra 3, và 3 người này sẽ có những công việc khác nhau. Số kế hoạch có thể phân công là: 5P3 = 5!/(5-3)! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 / 3 x 2 x 1 = 60